Exponentieller Gewichteter Gleitender Durchschnittswert

7.3.7 Exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt (EWMA) 7.3.7 Exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt Um die Annahmen einer einheitlich gewichteten gleitenden durchschnittlichen Schätzung (UWMA) mit den Realitäten der Markt-Heteroskedastizität in Einklang zu bringen, könnten wir den Schätzer 7.10 nur auf die jüngsten historischen Daten tq anwenden . Die den gegenwärtigen Marktbedingungen am ehesten entsprechen sollten. Dies ist selbstzerstörerisch, da das Anwenden der Schätzfunktion 7.10 auf eine kleine Datenmenge ihren Standardfehler erhöht. Folglich bedeutet UWMA ein Dilemma: das Anwenden auf eine Menge von Daten ist schlecht, aber so wird es auf ein wenig Daten. Dies motivierte Zangari (1994), eine Modifikation von UWMA als exponentiell gewichtete gleitende Schätzung (EWMA) vorzuschlagen.2 Dies trifft auf eine ungleichförmige Gewichtung auf Zeitreihendaten zu, so daß viele Daten verwendet werden können, aber jüngere Daten werden stärker gewichtet . Wie der Name schon sagt, basieren Gewichte auf der Exponentialfunktion. Eine exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittsschätzung ersetzt die Schätzfunktion 7.10, wobei der Zerfallsfaktor im Allgemeinen einen Wert zwischen 0,95 und 0,99 zugewiesen wird. Niedrigere Zerfallsfaktoren neigen dazu, jüngere Daten stärker zu gewichten. Man beachte, dass die exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittsschätzung weit verbreitet ist, aber sie ist eine bescheidene Verbesserung gegenüber UWMA. Es versucht nicht, marktbedingte Heteroskedastizität mehr als UWMA zu modellieren. Sein Gewichtungsschema ersetzt das Dilemma, wie viel Daten zu verwenden, mit einem ähnlichen Dilemma, wie aggressiv ein Zerfallsfaktor zu verwenden. Betrachten wir wieder Ausstellung 7.6 und unser Beispiel der USD 10MM Position ist SGD. Lets Schätzung 10 1 mit exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt Schätzer 7,20. Wenn wir .99 verwenden, erhalten wir eine Schätzung für 10 1 von .0054. Wenn wir .95 verwenden, erhalten wir eine Schätzung von .0067. Diese entsprechen der Position Value-at-Risk-Ergebnisse von USD 89.000 bzw. USD 110.000. 7.7 zeigt 30 Tage Daten für einen einmonatigen CHF Libor an. 7.7: Daten für 1-Monats-CHF-Libor. Die Preise sind in Prozent angegeben. Quelle: British Bankers Association (BBA).Erfahren der exponentiell gewichteten Moving Average Volatility ist die häufigste Maßnahme des Risikos, aber es kommt in mehreren Geschmacksrichtungen. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie man einfache historische Volatilität berechnet. (Um diesen Artikel zu lesen, lesen Sie unter Verwenden der Volatilität, um zukünftiges Risiko zu messen.) Wir verwendeten Googles tatsächlichen Aktienkursdaten, um die tägliche Volatilität basierend auf 30 Tagen der Bestandsdaten zu berechnen. In diesem Artikel werden wir auf einfache Volatilität zu verbessern und diskutieren den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA). Historische Vs. Implied Volatility Erstens, lassen Sie diese Metrik in ein bisschen Perspektive. Es gibt zwei breite Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass Vergangenheit ist Prolog Wir messen Geschichte in der Hoffnung, dass es prädiktive ist. Die implizite Volatilität dagegen ignoriert die Geschichte, die sie für die Volatilität der Marktpreise löst. Es hofft, dass der Markt am besten weiß und dass der Marktpreis, auch wenn implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält. (Für verwandte Erkenntnisse siehe Die Verwendungen und Grenzen der Volatilität.) Wenn wir uns auf die drei historischen Ansätze (auf der linken Seite) konzentrieren, haben sie zwei Schritte gemeinsam: Berechnen Sie die Reihe der periodischen Renditen Berechnen die periodische Rendite. Das ist typischerweise eine Reihe von täglichen Renditen, bei denen jede Rendite in kontinuierlich zusammengesetzten Ausdrücken ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (d. H. Preis heute geteilt durch den Preis gestern und so weiter). Dies erzeugt eine Reihe von täglichen Renditen, von u i bis u i-m. Je nachdem wie viele Tage (m Tage) wir messen. Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. Wir haben gezeigt, dass die einfache Varianz im Rahmen einiger akzeptabler Vereinfachungen der Mittelwert der quadratischen Renditen ist: Beachten Sie, dass diese Summe die periodischen Renditen zusammenfasst und dann diese Summe durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m). Also, seine wirklich nur ein Durchschnitt der quadrierten periodischen kehrt zurück. Setzen Sie einen anderen Weg, jede quadratische Rückkehr wird ein gleiches Gewicht gegeben. Also, wenn alpha (a) ein Gewichtungsfaktor (speziell eine 1m) ist, dann eine einfache Varianz sieht etwa so aus: Die EWMA verbessert auf einfache Varianz Die Schwäche dieser Ansatz ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht zu verdienen. Yesterdays (sehr jüngste) Rückkehr hat keinen Einfluss mehr auf die Varianz als die letzten Monate zurück. Dieses Problem wird durch Verwendung des exponentiell gewichteten gleitenden Mittelwerts (EWMA), bei dem neuere Renditen ein größeres Gewicht auf die Varianz aufweisen, festgelegt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein. Die als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als 1 sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle der gleichen Gewichtungen jede quadratische Rendite durch einen Multiplikator wie folgt gewichtet: Beispielsweise neigt die RiskMetrics TM, eine Finanzrisikomanagementgesellschaft, dazu, eine Lambda von 0,94 oder 94 zu verwenden. In diesem Fall wird die erste ( (1 - 0,94) (94) 0 6. Die nächste quadrierte Rückkehr ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts in diesem Fall 6 multipliziert mit 94 5,64. Und das dritte vorherige Tagegewicht ist gleich (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Das ist die Bedeutung von exponentiell in EWMA: jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (d. h. Lambda, der kleiner als eins sein muß) des vorherigen Gewichtes. Dies stellt eine Varianz sicher, die gewichtet oder zu neueren Daten voreingenommen ist. (Weitere Informationen finden Sie im Excel-Arbeitsblatt für die Googles-Volatilität.) Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google wird unten angezeigt. Einfache Volatilität wiegt effektiv jede periodische Rendite von 0,196, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre täglich Tageskursdaten, das sind 509 tägliche Renditen und 1509 0,196). Aber beachten Sie, dass die Spalte P ein Gewicht von 6, dann 5,64, dann 5,3 und so weiter. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA. Denken Sie daran: Nachdem wir die Summe der ganzen Reihe (in Spalte Q) haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir uns daran erinnern, die Quadratwurzel dieser Varianz zu nehmen. Was ist der Unterschied in der täglichen Volatilität zwischen der Varianz und der EWMA im Googles-Fall? Bedeutend: Die einfache Varianz gab uns eine tägliche Volatilität von 2,4, aber die EWMA gab eine tägliche Volatilität von nur 1,4 (Details siehe Tabelle). Offenbar ließ sich die Googles-Volatilität in jüngster Zeit verringern, so dass eine einfache Varianz künstlich hoch sein könnte. Die heutige Varianz ist eine Funktion der Pior Tage Variance Youll bemerken wir benötigt, um eine lange Reihe von exponentiell sinkenden Gewichte zu berechnen. Wir werden die Mathematik hier nicht durchführen, aber eine der besten Eigenschaften der EWMA ist, daß die gesamte Reihe zweckmäßigerweise auf eine rekursive Formel reduziert: Rekursiv bedeutet, daß heutige Varianzreferenzen (d. h. eine Funktion der früheren Tagesvarianz) ist. Sie können diese Formel auch in der Kalkulationstabelle zu finden, und es erzeugt genau das gleiche Ergebnis wie die Langzeitberechnung Es heißt: Die heutige Varianz (unter EWMA) ist gleichbedeutend mit der gestrigen Abweichung (gewichtet mit Lambda) plus der gestrigen Rückkehr (gewogen durch ein Minus-Lambda). Beachten Sie, wie wir sind nur das Hinzufügen von zwei Begriffe zusammen: gestern gewichtet Varianz und gestern gewichtet, quadriert zurück. Dennoch ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höheres Lambda (z. B. wie RiskMetrics 94) deutet auf einen langsameren Abfall in der Reihe hin - in relativer Hinsicht werden wir mehr Datenpunkte in der Reihe haben, und sie fallen langsamer ab. Auf der anderen Seite, wenn wir das Lambda reduzieren, deuten wir auf einen höheren Abfall hin: die Gewichte fallen schneller ab, und als direkte Folge des schnellen Zerfalls werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Kalkulationstabelle ist Lambda ein Eingang, so dass Sie mit seiner Empfindlichkeit experimentieren können). Zusammenfassung Volatilität ist die momentane Standardabweichung einer Aktie und die häufigste Risikomessung. Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können Varianz historisch oder implizit messen (implizite Volatilität). Bei der historischen Messung ist die einfachste Methode eine einfache Varianz. Aber die Schwäche mit einfacher Varianz ist alle Renditen bekommen das gleiche Gewicht. So stehen wir vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto mehr wird unsere Berechnung durch weit entfernte (weniger relevante) Daten verdünnt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz durch Zuordnen von Gewichten zu den periodischen Renditen. Auf diese Weise können wir beide eine große Stichprobengröße, sondern auch mehr Gewicht auf neuere Renditen. (VaR): Letzte Schritte VaR Ansatz Spezifische Schritte Berechnung von Varianz-Kovarianz (VCV) Value at Risk (VaR) Diese Methode setzt voraus, dass Die täglichen Renditen folgen einer Normalverteilung. Aus der Verteilung der täglichen Renditen schätzen wir die Standardabweichung (). Der tägliche Value at Risk (VaR) ist eine Funktion der Standardabweichung und des gewünschten Konfidenzniveaus. Bei der Varianz-Kovarianz-Methode (VCV) kann die zugrunde liegende Volatilität entweder mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt (SMA) oder einem exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA) berechnet werden. Mathematisch liegt der Unterschied in der Methode zur Berechnung der Standardabweichung (). Diese Methodik wird im folgenden näher beschrieben. Bestimmung der SMA-Volatilität Nach dem VCV-SMA Value-at-Risk-Ansatz (VaR) werden die in den Schritten P4 ampP5 berechneten Renditen bei der Berechnung der zugrunde liegenden Volatilität wie folgt gegeben: 8216n8217 stellt die Anzahl der in den Berechnungen verwendeten Rücklaufbeobachtungen dar . In unserer Rückblickperiode gab es 5 beobachtete Raten. Dies führte zu 4 Rückkehrbeobachtungen, d. H. N & sub4; in den obigen Formeln. Detaillierte Schritte für SMA-Volatilität sind unten angegeben: Schritt A1: Berechnen Sie den Mittelwert der Verteilung Summe der Renditen über die Serie und dividieren Sie durch die Anzahl der Renditen in der Serie. Für die Portfolio-Return-Serie wird dies folgendermaßen berechnet: Alternativ kann dies durch Anwenden der Excel8217s 8220AVERAGE8221 auf die Rückführungsserie erreicht werden Schritt A2: Berechnen Sie die Varianz der Verteilung An jedem Punkt in der Rückführungsreihe berechnen Sie die Differenz der Rückkehr von der Der in Schritt A1 oben berechnet wurde. Quadrat das Ergebnis und dann Summe über alle quadrierten Unterschiede. Teilen Sie die resultierende Summe durch die Anzahl der Renditen in der Reihe weniger ein. Für die Portfolio-Return-Serie ist dies folgendermaßen: Alternativ kann dies durch Anwenden der Excel-Funktion 8220VAR8221 auf die Rückkehrreihe erreicht werden Schritt A3: Berechnung der SMA-Volatilität Die tägliche SMA-Volatilität ist gleich der Quadratwurzel der in Schritt A2 berechneten Varianz Oben, dh es ist die Standardabweichung oder. Für die Portfolio-Return-Serie ist dies folgendermaßen: Alternativ kann dies durch Anwenden der Excel-Funktion 8220STDEV8221 auf die Rückführungsserie erreicht werden. Bestimmung der EWMA-Volatilität Der SMA-Ansatz gibt allen Beobachtungen, die in der Rückblickperiode verwendet wurden, gleiche Bedeutung und berücksichtigt nicht die Tatsache, dass Informationen dazu neigen, im Laufe der Zeit zu zerfallen oder weniger relevant zu werden. Die EWMA-Methode dagegen legt mehr Wert auf die jüngsten Informationen und damit mehr Gewicht auf die jüngsten Erträge. Dies wird durch die Angabe eines Parameters erreicht. (0lt. Lt1) und das Setzen exponentiell abnehmender Gewichte auf historische Daten. Die EWMA-Varianzformel lautet: Im Allgemeinen legt die EWMA-Methodik mehr Wert auf aktuelle Daten, da höhere Gewichte durch neuere Daten der Formel zugewiesen werden. Aber die. Wert bestimmt das Gewichtungsalter der Daten in der Formel und die tatsächlich betrachtete Probengröße. Je kleiner der Wert von. Desto schneller zerfällt das Gewicht. Wenn wir erwarten, dass die Volatilität sehr instabil ist, dann werden wir einen niedrigen Zerfallsfaktor anwenden (was den letzten Beobachtungen viel Gewicht verleiht und eine kleinere Probe effektiver berücksichtigt, da die Gewichte sich schneller auf Null verjüngen). Wenn wir erwarten, dass die Volatilität konstant ist, würden wir einen hohen Abklingfaktor anwenden (was für ältere Beobachtungen gleichere Gewichte ergibt). Weil wir in unserer Illustration eine kleine Stichprobengröße verwenden, haben wir eine. Von 0,5. Allerdings ist ein Industriestandard zu setzen. Bis 0,94. Schritt B2: Bestimmung der Gewichte Wie in der obigen Formel angegeben, werden die Gewichte an jedem Datenpunkt wie folgt berechnet: Eine besondere Eigenschaft der in der EWMA-Formel verwendeten Gewichte ist, daß ihre Summe bis unendlich immer gleich 1 ist Möglich, eine unendliche Menge von historischen Daten haben. Wenn also die Summe der Gewichte nicht in der Nähe von einem liegt, müssen Anpassungen vorgenommen werden. Diese Anpassungen umfassen entweder das Erweitern des Datensatzes oder die Rückblickperiode, um sicherzustellen, dass es groß genug ist, so dass diese Summe von Gewichten nahe 1 ist, oder alternativ müssen die Gewichte neu skaliert werden, so dass ihre Summe gleich 1 ist. Diese Umskalierung wird durch Teilen erzielt Die in Schritt B2 berechneten Gewichtungen um 1 n. Wobei n die Anzahl der Rückkehrbeobachtungen ist. Dies wird in unserem Beispiel wie folgt veranschaulicht: Skalierte Gewichte Gewichte (1- n) Schritt B4: Berechnen der EWMA-Varianz Der erste Schritt bei der Berechnung der Varianz besteht darin, die Quadrate der Renditen an jedem Datenpunkt zu berechnen. Als nächstes multiplizieren Sie die quadrierte Reihe mit den für diesen Datenpunkt gültigen Gewichten und addieren dann die resultierenden gewichteten quadrierten Reihen. Dies ist für die Portfolio-Return-Serie unten dargestellt: Schritt B5: Berechnen der EWMA-Volatilität Die tägliche EWMA-Volatilität wird erhalten, indem die Quadratwurzel des Ergebnisses in Schritt B4 oben genommen wird. Ermittlung von SMA - und EWMA-Tages-VaR Der tägliche Value-at-Risk (VaR) ist einfach eine Funktion der Standardabweichung bzw. - volatilität und des gewünschten Konfidenzniveaus. Im Einzelnen: Value at Risk (VAR). Z-Wert der Normnormalen kumulativen Verteilung entsprechend einem vorgegebenen Konfidenzniveau Zum Beispiel bei einem Konfidenzniveau von 99 ist der z-Wert 2.326 (Excel8217s-Funktion 8216NORMSINV (.99) kann verwendet werden, um den z-Wert zu bestimmen) Täglich Value at Risk (VaR) 2.326. Für unser Beispielportfolio erarbeiten die VCV Value at Risk (VaR) s auf der Ebene der 99 Konfidenzniveaus: Ermittlung der historischen Simulation Täglicher Value at Risk (VaR) Die historische Simulation ist ein nichtparametrischer Ansatz zur Schätzung des Value at Risk (VaR) Die Retouren werden keiner funktionalen Verteilung unterworfen. Value at Risk (VaR) wird direkt aus den Daten geschätzt, ohne Parameter abzuleiten oder Annahmen über die gesamte Verteilung der Daten zu machen. Diese Methode basiert auf der Prämisse, dass das Muster der historischen Renditen ein Indiz für zukünftige Renditen ist. S tep H1: Geordnete Rücklaufserie, die in den Schritten P4 amp P5 abgeleitet wird. Der erste Schritt besteht darin, diese täglichen Renditen in aufsteigender Reihenfolge zu bestellen. Jede bestellte Rückgabe entspricht einer Indexnummer. In unserem Beispiel wird dies für die Portfolio-Return-Serie wie folgt dargestellt: R (sortiert in aufsteigender Reihenfolge) Schritt H2: Bestimmen Sie den Indexwert, der dem 1-Konfidenzniveau entspricht. Dies ergibt sich aus der Anzahl der Rückmeldungen (1-Konfidenzniveau). Die resultierende Zahl wird gekürzt oder auf eine ganze Zahl abgerundet, dh wenn die resultierende Zahl 1,6 ist, ist der Indexwert gleich 1. In unserem Beispiel arbeitet die resultierende Zahl jedoch aufgrund der kleinen Datengröße auf 4 (1- 0,99) 0,04. Nach der Methodik ergibt sich daraus eine Indexzahl von 0. Da es sich jedoch nicht um eine gültige Zahl handelt, wird die nächsthöhere Zahl, i. e.1, als Indexwert in unserem Beispiel verwendet. Schritt H3: Ermittlung des täglichen historischen Value at Risk (VaR) Der tägliche historische Value at Risk (VaR) ist der absolute Wert der Rendite in der geordneten Serie im Schritt H1, der dem im Schritt H2 abgeleiteten Indexwert entspricht. Für die Portfolio-Return-Serie ist dies der absolute Wert der Rendite am Index Nr. 1, d. H. 0,5002 Skalierung des täglichen VaR Schritt S1: Festlegung der Haltedauer Die Haltedauer ist die Zeit, in der das Asset-Portfolio am Markt liquidiert werden soll. In Basel 2 ist für die meisten Fälle eine zehntägige Haltedauer eine Grundvoraussetzung. Schritt S2: Skalierung des täglichen Value at Risk (VaR) Zur Bestimmung des Value at Risk (VaR) für eine J-Tage Halteperiode wird die Quadratwurzelregel angewendet, dh der J-Day VaR J (Tages-VaR). Für das Portfolio ist der Holding VaR für jeden Ansatz wie folgt: Der maximale Verlust, den wir in unserem Portfolio über eine 10-tägige Haltedauer mit 99 Wahrscheinlichkeit erleben können, beträgt PKR 3.675,36 unter Verwendung eines EWMA Value at Risk (VaR) Ansatzes. Mit anderen Worten gibt es eine Chance, dass die Verluste in einer 10-tägigen Halteperiode diesen Betrag überschreiten werden. (Wenn Sie die PDF-Version von Value at Risk-Kurs zusammen mit der unterstützenden EXCEL-Datei kaufen möchten, lesen Sie bitte unsere Online Value at Risk (VaR) und IRS Pricing Store) Related posts: Über den Autor Jawwad Farid Jawwad Farid wurde gebaut Und Implementierung von Risikomodellen und Backoffice-Systemen seit August 1998. Mit Kunden auf vier Kontinenten hilft er Bankern, Vorstandsmitgliedern und Aufsichtsbehörden einen marktrelevanten Ansatz für das Risikomanagement. Er ist Autor von Models at Work und Option Greeks Primer, beide veröffentlicht von Palgrave Macmillan. Jawwad ist eine Fellow Society of Actuaries, (FSA, Schaumburg, IL), hält er einen MBA von der Columbia Business School und ist ein Informatik-Absolvent von (NUCES SCHNELL). Er ist Mitglied bei der SP Jain Global School of Management in Dubai und Singapur, wo er Risk Management, Derivative Pricing und Entrepreneurship unterrichtet. Beliebte Beiträge